Ανισότητες για προχωρημένους: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Όταν τα τετράγωνα και ο αριθμητικός και γεωμετρικός μέσος δεν αρκούν. Τα εργαλεία αυτά εμφανίζονται κυρίως στον Αρχιμήδη και στα τελευταία θέματα του Ευκλείδη.

τα βασικά

Μέσοι για θετικούς: \(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}\ge\dfrac{a+b}2\ge\sqrt{ab}\ge\dfrac{2}{\frac1a+\frac1b}\), με ισότητα όταν \(a=b\).
Μορφή Engel (Bergström) της Cauchy–Schwarz: για \(b_i>0\), \(\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dots+\dfrac{a_n^2}{b_n}\ge\dfrac{(a_1+\dots+a_n)^2}{b_1+\dots+b_n}\).
Αναδιάταξη: αν \(a_1\le\dots\le a_n\) και \(b_1\le\dots\le b_n\), το \(\sum a_ib_i\) είναι το μέγιστο και το \(\sum a_ib_{n+1-i}\) το ελάχιστο ανάμεσα σε όλες τις αντιστοιχίσεις.
Bernoulli: \((1+x)^n\ge1+nx\) για \(x\ge-1\) και φυσικό \(n\).
Ομογενοποίηση: με συνθήκη όπως \(a+b+c=1\), πολλαπλασίασε όρους με κατάλληλες δυνάμεις του \(a+b+c\) ώστε όλοι να έχουν τον ίδιο βαθμό.

παράδειγμα

Για \(a,b,c>0\), να δείξετε ότι \(\dfrac{a^2}b+\dfrac{b^2}c+\dfrac{c^2}a\ge a+b+c\).

Λύση. Από τη μορφή Engel: το αριστερό μέλος είναι \(\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c\).

συχνό λάθος

Αριθμητικός και γεωμετρικός μέσος σε αριθμούς που μπορεί να είναι αρνητικοί. Η ανισότητα ισχύει μόνο για μη αρνητικούς.

θέματα για εξάσκηση

Άνοιξε το φύλλο στην εφαρμογή