αρχείο θεμάτων εμε
αρχική / θεωρία / αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου

Αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Κέντρο βάρους, έγκεντρο, περίκεντρο, ορθόκεντρο: όταν ένα θέμα αναφέρει διαμέσους, διχοτόμους, μεσοκαθέτους ή ύψη, ένα από αυτά κρύβεται πίσω του.

Κέντρο βάρους, έγκεντρο, περίκεντρο, ορθόκεντρο: όταν ένα θέμα αναφέρει διαμέσους, διχοτόμους, μεσοκαθέτους ή ύψη, ένα από αυτά κρύβεται πίσω του.

τα βασικά

  1. Κέντρο βάρους \(G\): τομή των διαμέσων. Χωρίζει κάθε διάμεσο σε λόγο \(2:1\) από την κορυφή.
  2. Περίκεντρο \(O\): τομή των μεσοκαθέτων, κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι το μέσο της υποτείνουσας.
  3. Έγκεντρο \(I\): τομή των διχοτόμων, κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Απέχει εξίσου από τις τρεις πλευρές.
  4. Ορθόκεντρο \(H\): τομή των υψών.
  5. Τα εφαπτόμενα τμήματα από την κορυφή \(A\) προς τον εγγεγραμμένο κύκλο έχουν μήκος \(\tau-\alpha\), όπου \(\tau\) η ημιπερίμετρος.
  6. Ευθεία Euler: τα \(O\), \(G\), \(H\) είναι συνευθειακά και \(HG=2\,GO\).

παράδειγμα

Σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς \(\alpha\), να βρεθούν οι ακτίνες \(R\) και \(\rho\) του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου.

Λύση. Όλα τα κέντρα συμπίπτουν στο \(G\). Το ύψος είναι \(\tfrac{\alpha\sqrt3}2\) και το \(G\) το χωρίζει σε λόγο \(2:1\), άρα \(R=\tfrac{\alpha\sqrt3}3\) και \(\rho=\tfrac{\alpha\sqrt3}6\).

συχνό λάθος

Σύγχυση κέντρου βάρους και εγκέντρου. Συμπίπτουν μόνο στο ισόπλευρο τρίγωνο.

θέματα για εξάσκηση

Άνοιξε το φύλλο στην εφαρμογή