αρχείο θεμάτων εμεΣχεδόν κάθε θέμα με κύκλο λύνεται με εγγεγραμμένες γωνίες ή με τη δύναμη σημείου.
τα βασικά
- Η εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες.
- Η γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή (θεώρημα του Θαλή για τον κύκλο).
- Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα στο σημείο επαφής. Τα εφαπτόμενα τμήματα από εξωτερικό σημείο είναι ίσα.
- Η γωνία χορδής και εφαπτομένης ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής.
- Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν οι απέναντι γωνίες του έχουν άθροισμα \(180^\circ\).
- Δύναμη σημείου: αν δύο ευθείες από το \(P\) τέμνουν τον κύκλο στα \(A,B\) και \(\Gamma,\Delta\), τότε \(PA\cdot PB=P\Gamma\cdot P\Delta\). Για εφαπτόμενο τμήμα \(PT\): \(PT^2=PA\cdot PB\).
παράδειγμα
Από σημείο \(P\) έξω από κύκλο φέρνουμε εφαπτόμενο τμήμα \(PT=6\) και τέμνουσα που τέμνει τον κύκλο στα \(A,B\) με \(PA=4\). Να βρεθεί το \(AB\).
Λύση. \(PT^2=PA\cdot PB\), άρα \(36=4\cdot PB\) και \(PB=9\). Επομένως \(AB=PB-PA=5\).
συχνό λάθος
Δύο εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στην ίδια χορδή είναι ίσες μόνο όταν οι κορυφές τους βρίσκονται στο ίδιο τόξο. Αν βρίσκονται σε απέναντι τόξα, είναι παραπληρωματικές.
θέματα για εξάσκηση
- Θαλής 2007, Γ΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2022, Γ΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2019, Γ΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2017, Β΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2016, Γ΄ Γυμνασίου, θέμα 2
- Θαλής 2016, Γ΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2009, Β΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2023, Β΄ Γυμνασίου, θέμα 4
- Θαλής 2020, Β΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2019, Β΄ Γυμνασίου, θέμα 3
- Θαλής 2017, Γ΄ Λυκείου, θέμα 3
- Θαλής 2014, Β΄ Λυκείου, θέμα 3