Βοηθητικές κατασκευές: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Πολλά γεωμετρικά θέματα κολλάνε μέχρι να προσθέσεις μία γραμμή. Αυτές είναι οι συνηθισμένες.

τα βασικά

Προέκταση διαμέσου κατά ίσο τμήμα: αν \(AM\) διάμεσος και \(M\Delta=AM\), το \(AB\Delta\Gamma\) είναι παραλληλόγραμμο.
Από το μέσο μιας πλευράς φέρε παράλληλη προς άλλη πλευρά: εφαρμόζεται το θεώρημα του τμήματος που ενώνει τα μέσα.
Σε τραπέζιο φέρε παράλληλη προς μία μη παράλληλη πλευρά ή προς μια διαγώνιο από μια κορυφή. Δημιουργείται παραλληλόγραμμο και τρίγωνο.
Σε ισόπλευρο τρίγωνο ή τετράγωνο, μια στροφή κατά \(60^\circ\) ή \(90^\circ\) γύρω από κορυφή μεταφέρει τμήματα σε πιο βολικές θέσεις.
Πάρε πάνω σε μια πλευρά τμήμα ίσο με ένα άλλο: δημιουργείς ισοσκελές τρίγωνο.
Σε κύκλο με εφαπτομένες φέρε τις ακτίνες προς τα σημεία επαφής: δημιουργούνται ορθές γωνίες.

παράδειγμα

Να δείξετε ότι η διάμεσος \(AM\) τριγώνου \(AB\Gamma\) είναι μικρότερη από \(\tfrac{AB+A\Gamma}2\).

Λύση. Προεκτείνουμε την \(AM\) κατά \(M\Delta=AM\). Το \(AB\Delta\Gamma\) είναι παραλληλόγραμμο, άρα \(\Gamma\Delta=AB\). Στο τρίγωνο \(A\Gamma\Delta\): \(A\Delta

συχνό λάθος

Σχήμα σε ειδική θέση, π.χ. ισοσκελές ή ορθογώνιο, και συμπεράσματα που ισχύουν μόνο εκεί. Σχεδίαζε «τυχαίο» τρίγωνο.

θέματα για εξάσκηση

Άνοιξε το φύλλο στην εφαρμογή