Ακέραιες λύσεις εξισώσεων: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Όταν ζητούνται ακέραιες λύσεις, τρία εργαλεία λύνουν τα περισσότερα θέματα: παραγοντοποίηση, φράγματα και υπόλοιπα.

τα βασικά

Τέχνασμα παραγοντοποίησης: \(xy+ax+by=(x+b)(y+a)-ab\). Η εξίσωση γίνεται «γινόμενο = σταθερά» και εξετάζεις τους διαιρέτες.
Φράγματα: αν \(x\le y\le z\), συχνά προκύπτει άνω φράγμα για το \(x\) και μένουν λίγες περιπτώσεις.
Η \(ax+by=c\) έχει ακέραιες λύσεις αν και μόνο αν \(\text{ΜΚΔ}(a,b)\mid c\).
Έλεγχος υπολοίπων: αν τα δύο μέλη δεν μπορούν να έχουν το ίδιο υπόλοιπο με κάποιο \(m\), η εξίσωση δεν έχει λύση.

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι με \(xy=x+y\).

Λύση. \(xy-x-y+1=1\), δηλαδή \((x-1)(y-1)=1\). Άρα \(x-1=y-1=1\) και η μόνη λύση είναι \(x=y=2\).

Να ξεχάσεις τους αρνητικούς διαιρέτες όταν οι άγνωστοι είναι ακέραιοι και όχι θετικοί.