Διαιρετότητα, ΜΚΔ και πρώτοι: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Η θεωρία αριθμών εμφανίζεται σε κάθε τάξη. Τα περισσότερα θέματα θέλουν ένα σωστό εργαλείο: ευκλείδεια διαίρεση, ανάλυση σε πρώτους ή υπόλοιπα.

τα βασικά

Ευκλείδεια διαίρεση: για ακέραιους \(a\) και \(b>0\) υπάρχουν μοναδικοί \(q,r\) με \(a=bq+r\) και \(0\le r
Αν \(d\mid a\) και \(d\mid b\), τότε \(d\mid ax+by\) για όλους τους ακέραιους \(x,y\).
\(\text{ΜΚΔ}(a,b)\cdot\text{ΕΚΠ}(a,b)=ab\) για θετικούς ακέραιους.
Κάθε ακέραιος \(n>1\) γράφεται μοναδικά ως γινόμενο πρώτων \(n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\). Το πλήθος των θετικών διαιρετών του είναι \((e_1+1)\cdots(e_k+1)\).
Κριτήρια: με 3 ή 9 αν το άθροισμα ψηφίων διαιρείται με 3 ή 9. Με 4 αν τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν πολλαπλάσιο του 4. Με 11 αν η εναλλάσσουσα διαφορά των ψηφίων διαιρείται με 11.
Αν ο πρώτος \(p\) διαιρεί το \(ab\), τότε \(p\mid a\) ή \(p\mid b\).

Πόσους θετικούς διαιρέτες έχει ο 360;

Λύση. \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\), άρα έχει \((3+1)(2+1)(1+1)=24\) διαιρέτες.

Το «\(6\mid ab\) άρα \(6\mid a\) ή \(6\mid b\)» είναι λάθος (π.χ. \(a=2\), \(b=3\)). Η ιδιότητα ισχύει μόνο για πρώτους.