Εξισώσεις και συστήματα: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Στους διαγωνισμούς οι εξισώσεις σπάνια λύνονται «με τον τύπο». Συνήθως ψάχνεις παραγοντοποίηση, αντικατάσταση ή συμμετρία.

τα βασικά

Για \(ax^2+bx+c=0\) με \(a\neq0\): \(\Delta=b^2-4ac\) και \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\) όταν \(\Delta\ge0\).
Τύποι Vieta: \(x_1+x_2=-\dfrac ba\) και \(x_1x_2=\dfrac ca\).
Συμμετρικά συστήματα σε \(x,y\): θέσε \(s=x+y\), \(p=xy\). Τότε \(x^2+y^2=s^2-2p\) και οι \(x,y\) είναι ρίζες της \(t^2-st+p=0\).
Γινόμενο ίσο με μηδέν: \(AB=0\) σημαίνει \(A=0\) ή \(B=0\). Γι’ αυτό προσπαθούμε να παραγοντοποιήσουμε.
Άθροισμα τετραγώνων ίσο με μηδέν: \(A^2+B^2=0\) σημαίνει \(A=B=0\). Πολλές εξισώσεις με δύο αγνώστους λύνονται έτσι.

Να λυθεί το σύστημα \(x+y=5,\ x^2+y^2=13\).

Λύση. Με \(s=5\): \(13=25-2p\), άρα \(p=6\). Οι \(x,y\) είναι ρίζες της \(t^2-5t+6=0\), δηλαδή 2 και 3. Λύσεις: \((2,3)\) και \((3,2)\).

Διαίρεση και των δύο μελών με παράσταση που μπορεί να είναι μηδέν, π.χ. από \(x^2=3x\) στο \(x=3\): χάνεται η λύση \(x=0\).