Γεωμετρικά ακρότατα και τόποι: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

«Πότε γίνεται ελάχιστο το άθροισμα;» ή «πού βρίσκεται το σημείο;». Οι απαντήσεις έρχονται από συμμετρίες, τριγωνική ανισότητα και γνωστούς τόπους.

τα βασικά

Ελάχιστη διαδρομή: για \(A,B\) στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία \(\varepsilon\), το \(AM+MB\) με \(M\in\varepsilon\) γίνεται ελάχιστο όταν το \(M\) είναι η τομή της \(\varepsilon\) με την \(A^{\prime}B\), όπου \(A^{\prime}\) το συμμετρικό του \(A\) ως προς \(\varepsilon\).
Η μικρότερη απόσταση σημείου από ευθεία είναι η κάθετη.
Με σταθερή περίμετρο, το ορθογώνιο μέγιστου εμβαδού είναι το τετράγωνο και το τρίγωνο μέγιστου εμβαδού είναι το ισόπλευρο.
Τόποι: τα σημεία που ισαπέχουν από δύο σημεία σχηματίζουν τη μεσοκάθετο. Όσα ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες βρίσκονται στις διχοτόμους τους.
Τα σημεία από τα οποία ένα τμήμα \(AB\) φαίνεται υπό σταθερή γωνία σχηματίζουν δύο συμμετρικά τόξα κύκλων με χορδή \(AB\). Για ορθή γωνία είναι ο κύκλος διαμέτρου \(AB\).

Ποιο ορθογώνιο με περίμετρο 20 έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

Λύση. Με πλευρές \(x\) και \(10-x\): \(E=x(10-x)=25-(x-5)^2\le25\), με ισότητα για \(x=5\). Το τετράγωνο πλευράς 5.

Να βρεις το σημείο που «φαίνεται» ότι δίνει το ελάχιστο χωρίς να αποδείξεις ότι κάθε άλλη θέση δίνει μεγαλύτερη τιμή.