αρχείο θεμάτων εμεΣτον Αρχιμήδη ζητούνται συχνά όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν μια σχέση. Η λύση έχει δύο μέρη: βρίσκεις τις υποψήφιες και αποδεικνύεις ότι δεν υπάρχουν άλλες.
τα βασικά
- Αντικατάστησε ειδικές τιμές: \(x=0\), \(y=0\), \(y=x\), \(y=-x\), \(x=1\). Βρες πρώτα το \(f(0)\) ή το \(f(1)\).
- Αν η σχέση συνδέει το \(f(x)\) με το \(f(\text{κάτι άλλο})\), π.χ. \(f(1-x)\), αντικατάστησε και λύσε το σύστημα που προκύπτει.
- Ένα προς ένα: αν από \(f(a)=f(b)\) προκύπτει \(a=b\), μπορείς να «απαλείψεις» το \(f\).
- Εξίσωση Cauchy: αν \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), τότε \(f(q)=cq\) για κάθε ρητό \(q\), με \(c=f(1)\). Στους πραγματικούς χρειάζεται επιπλέον υπόθεση, π.χ. μονοτονία.
- Πάντα έλεγξε στο τέλος ότι η συνάρτηση που βρήκες ικανοποιεί την αρχική σχέση.
παράδειγμα
Να βρεθούν οι \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) με \(f(x)+2f(1-x)=x\) για κάθε \(x\).
Λύση. Με \(x\to1-x\): \(f(1-x)+2f(x)=1-x\). Πολλαπλασιάζουμε επί 2 και αφαιρούμε την αρχική: \(3f(x)=2-3x\), άρα \(f(x)=\tfrac23-x\). Επαλήθευση: \(\tfrac23-x+2\big(\tfrac23-1+x\big)=x\).
συχνό λάθος
Να σταματήσεις όταν βρεις μία συνάρτηση που δουλεύει. Πρέπει να δείξεις ότι είναι η μόνη.
θέματα για εξάσκηση
- Θαλής 2017, Γ΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2006, Γ΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2024, Γ΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2023, Γ΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2012, Γ΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2009, Γ΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου, θέμα 2
- Θαλής 2016, Β΄ Γυμνασίου, θέμα 3
- Θαλής 2012, Β΄ Γυμνασίου, θέμα 3
- Θαλής 2022, Γ΄ Λυκείου, θέμα 3
- Θαλής 2016, Γ΄ Λυκείου, θέμα 3
- Θαλής 2014, Α΄ Λυκείου, θέμα 3