Ταυτότητες και παραγοντοποίηση: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Οι περισσότερες «έξυπνες» λύσεις σε παραστάσεις στηρίζονται σε λίγες ταυτότητες. Αξίζει να τις αναγνωρίζεις και από τα δεξιά προς τα αριστερά.

τα βασικά

\((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\) και \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
\((a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\) και \(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\).
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\).
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\tfrac12(a+b+c)\big[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big]\).
Ταυτότητα Sophie Germain: \(a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)\).

παράδειγμα

Αν \(a+b+c=0\), να δείξετε ότι \(a^3+b^3+c^3=3abc\).

Λύση. Από την προτελευταία ταυτότητα, το αριστερό μέλος της \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(\dots)\) είναι γινόμενο με παράγοντα \(a+b+c=0\), άρα ισούται με 0.

συχνό λάθος

\((a+b)^2\neq a^2+b^2\) και \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\). Το «άνοιγμα» δυνάμεων και ριζών πάνω σε άθροισμα είναι το συχνότερο λάθος στα πρώτα θέματα του Θαλή.

θέματα για εξάσκηση

Άνοιξε το φύλλο στην εφαρμογή