Ανισότητες: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Στον Ευκλείδη και τον Αρχιμήδη οι ανισότητες είναι από τα πιο συχνά θέματα. Οι περισσότερες ανάγονται σε τετράγωνα ή σε μία από τις κλασικές ανισότητες.

τα βασικά

1. Για κάθε πραγματικό \(x\): \(x^2\ge0\), με ισότητα μόνο για \(x=0\). Ό,τι γράφεται ως άθροισμα τετραγώνων είναι μη αρνητικό.
2. Αριθμητικός και γεωμετρικός μέσος: για \(a,b\ge0\) ισχύει \(\dfrac{a+b}2\ge\sqrt{ab}\), με ισότητα όταν \(a=b\). Για τρεις: \(\dfrac{a+b+c}3\ge\sqrt[3]{abc}\).
3. Για \(a>0\): \(a+\dfrac1a\ge2\), με ισότητα όταν \(a=1\).
4. Cauchy–Schwarz: \((a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2\le(a_1^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+\dots+b_n^2)\).
5. \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), επειδή η διαφορά ισούται με \(\tfrac12\big[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big]\).
6. Τριγωνική ανισότητα: \(|a+b|\le|a|+|b|\).

θέματα για εξάσκηση

• Θαλής 2022, Γ΄ Λυκείου, θέμα 1
• Θαλής 2018, Α΄ Λυκείου, θέμα 1
• Θαλής 2015, Α΄ Λυκείου, θέμα 1
• Θαλής 2007, Γ΄ Γυμνασίου, θέμα 1
• Θαλής 2023, Β΄ Γυμνασίου, θέμα 2
• Θαλής 2023, Γ΄ Λυκείου, θέμα 2
• Θαλής 2018, Β΄ Λυκείου, θέμα 2
• Θαλής 2013, Γ΄ Γυμνασίου, θέμα 2
• Θαλής 2012, Γ΄ Γυμνασίου, θέμα 2
• Θαλής 2024, Β΄ Γυμνασίου, θέμα 2
• Θαλής 2016, Β΄ Λυκείου, θέμα 3
• Θαλής 2015, Γ΄ Γυμνασίου, θέμα 4

Άνοιξε το φύλλο στην εφαρμογή