αρχείο θεμάτων εμεΓράφουμε \(a\equiv b\pmod m\) όταν οι \(a\) και \(b\) αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο στη διαίρεση με \(m\). Με τις ισοτιμίες δουλεύεις μόνο με μικρούς αριθμούς.
τα βασικά
- Αν \(a\equiv b\) και \(c\equiv d\pmod m\), τότε \(a+c\equiv b+d\), \(ac\equiv bd\) και \(a^n\equiv b^n\pmod m\).
- Τα τετράγωνα ακεραίων αφήνουν υπόλοιπο 0 ή 1 με το 3 και 0 ή 1 με το 4. Τα τετράγωνα περιττών αφήνουν υπόλοιπο 1 με το 8.
- Το τελευταίο ψηφίο των δυνάμεων επαναλαμβάνεται κυκλικά, π.χ. για το 7: 7, 9, 3, 1, 7, …
- Μικρό θεώρημα του Fermat: για πρώτο \(p\) και ακέραιο \(a\), \(a^p\equiv a\pmod p\). Αν \(p\nmid a\), τότε \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\).
παράδειγμα
Να δείξετε ότι ο \(n^2+2\) δεν διαιρείται ποτέ με το 4.
Λύση. Το \(n^2\) αφήνει υπόλοιπο 0 ή 1 με το 4, άρα το \(n^2+2\) αφήνει υπόλοιπο 2 ή 3, ποτέ 0.
συχνό λάθος
«Διαίρεση» σε ισοτιμίες: από \(2a\equiv2b\pmod 4\) δεν προκύπτει \(a\equiv b\pmod 4\) (π.χ. \(a=0\), \(b=2\)).
θέματα για εξάσκηση
- Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2020, Β΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2020, Γ΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2016, Α΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2016, Β΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2014, Β΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2012, Γ΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2011, Α΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2009, Γ΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2008, Β΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2008, Γ΄ Λυκείου, θέμα 1
- Θαλής 2007, Α΄ Λυκείου, θέμα 1