Πολυώνυμα και συναρτήσεις: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Για το Λύκειο. Στις συναρτησιακές εξισώσεις η πρώτη κίνηση είναι σχεδόν πάντα η αντικατάσταση ειδικών τιμών.

τα βασικά

Θεώρημα υπολοίπου: το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x)\) με \(x-\rho\) είναι \(P(\rho)\). Άρα ο \(x-\rho\) είναι παράγοντας αν και μόνο αν \(P(\rho)=0\).
Αν το \(P\) έχει ακέραιους συντελεστές, κάθε ακέραια ρίζα του διαιρεί τον σταθερό όρο.
Πολυώνυμο βαθμού \(n\) έχει το πολύ \(n\) πραγματικές ρίζες. Δύο πολυώνυμα βαθμού \(\le n\) που συμπίπτουν σε \(n+1\) σημεία είναι ίσα.
Συναρτησιακές εξισώσεις: δοκίμασε \(x=0\), \(y=0\), \(y=x\), \(y=-x\) και έλεγξε στο τέλος ότι η συνάρτηση που βρήκες ικανοποιεί την αρχική σχέση.

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x)=x^{2026}+x+1\) με \(x+1\).

Λύση. Είναι \(P(-1)=(-1)^{2026}+(-1)+1=1\). Άρα το υπόλοιπο είναι 1.

Να βρεις μια συνάρτηση που «δουλεύει» και να μη δείξεις ότι είναι η μόνη. Οι επιτροπές βαθμολογούν και τα δύο σκέλη.