Δυνάμεις, ρίζες και απόλυτες τιμές: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Τα πρώτα θέματα του Θαλή είναι συχνά υπολογισμοί. Κερδίζεις χρόνο αν φέρεις όλες τις δυνάμεις στην ίδια βάση πριν κάνεις πράξεις.

τα βασικά

\(a^m a^n=a^{m+n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^nb^n\), \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\) για \(a\neq0\).
\((-a)^n=a^n\) αν ο \(n\) είναι άρτιος και \((-a)^n=-a^n\) αν είναι περιττός. Προσοχή: \(-2^4=-16\) ενώ \((-2)^4=16\).
Για \(a,b\ge0\): \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) και \(\sqrt{a^2}=a\). Για κάθε πραγματικό \(x\): \(\sqrt{x^2}=|x|\).
\(|x|=a\) με \(a\ge0\) σημαίνει \(x=a\) ή \(x=-a\). \(|x|\le a\) σημαίνει \(-a\le x\le a\).
Ρητοποίηση: \(\dfrac1{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}\) για \(a\neq b\).

Να υπολογίσετε το \(\dfrac{4^{5}\cdot 8^{3}}{2^{18}}\).

Λύση. Όλα σε βάση 2: \(4^5=2^{10}\), \(8^3=2^9\). Άρα \(\dfrac{2^{10}\cdot2^9}{2^{18}}=2^{1}=2\).

\(\sqrt{x^2}=x\) ισχύει μόνο για \(x\ge0\). Σε εξισώσεις με ρίζες, έλεγξε στο τέλος ότι οι λύσεις επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.