Τριώνυμο και παράμετροι: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Στον Ευκλείδη εμφανίζονται συχνά εξισώσεις δευτέρου βαθμού με παράμετρο. Τα περισσότερα ερωτήματα απαντώνται με τη διακρίνουσα και τους τύπους Vieta, χωρίς να λύσεις την εξίσωση.

τα βασικά

Πρόσημο του \(ax^2+bx+c\) με \(a\neq0\): αν \(\Delta<0\), είναι ομόσημο του \(a\) για κάθε \(x\). Αν \(\Delta>0\), είναι ετερόσημο του \(a\) μόνο ανάμεσα στις ρίζες.
Με \(S=x_1+x_2=-\tfrac ba\) και \(P=x_1x_2=\tfrac ca\): δύο διαφορετικές θετικές ρίζες αν και μόνο αν \(\Delta>0\), \(S>0\), \(P>0\).
Ετερόσημες ρίζες αν και μόνο αν \(P<0\). Τότε το \(\Delta>0\) ισχύει αυτόματα.
\(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\), \(\ \dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac SP\), \(\ |x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt\Delta}{|a|}\).

παράδειγμα

Για ποιες τιμές του \(\lambda\) η \(x^2-2\lambda x+\lambda+2=0\) έχει δύο διαφορετικές θετικές ρίζες;

Λύση. \(\Delta=4\lambda^2-4(\lambda+2)>0\), δηλαδή \((\lambda-2)(\lambda+1)>0\), άρα \(\lambda>2\) ή \(\lambda<-1\). Επίσης \(S=2\lambda>0\) και \(P=\lambda+2>0\). Όλα μαζί δίνουν \(\lambda>2\).

συχνό λάθος

Όταν ο συντελεστής του \(x^2\) περιέχει την παράμετρο, ξεχνάμε την περίπτωση που μηδενίζεται. Τότε η εξίσωση γίνεται πρώτου βαθμού και εξετάζεται χωριστά.

θέματα για εξάσκηση

Άνοιξε το φύλλο στην εφαρμογή