Ακολουθίες και αθροίσματα: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Αθροίσματα με πολλούς όρους λύνονται συνήθως με τύπους προόδων ή με τηλεσκοπικό άθροισμα.

τα βασικά

Αριθμητική πρόοδος: \(a_n=a_1+(n-1)\omega\) και \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}2\).
Γεωμετρική πρόοδος: \(a_n=a_1\lambda^{n-1}\) και \(S_n=a_1\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\) για \(\lambda\neq1\).
\(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2\) και \(1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\).
Τηλεσκοπικό: \(\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\), άρα \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k(k+1)}=1-\dfrac1{n+1}\).

Να υπολογιστεί το \(\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dots+\dfrac1{99\cdot100}\).

Λύση. Κάθε όρος γράφεται \(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\) και οι ενδιάμεσοι όροι διαγράφονται: μένει \(1-\dfrac1{100}=\dfrac{99}{100}\).

Λάθος πλήθος όρων. Από το \(a\) έως το \(b\) με βήμα 1 υπάρχουν \(b-a+1\) όροι, όχι \(b-a\).