Θαλής, ομοιότητα και Πυθαγόρειο: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Όταν ένα θέμα ζητά λόγους τμημάτων ή μήκη, σκέψου παράλληλες ευθείες, όμοια τρίγωνα και ορθές γωνίες.

τα βασικά

Θεώρημα Θαλή: παράλληλες ευθείες ορίζουν ανάλογα τμήματα σε δύο τέμνουσες.
Δύο τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν δύο γωνίες ίσες. Αν ο λόγος ομοιότητας είναι \(\lambda\), ο λόγος των εμβαδών είναι \(\lambda^2\).
Πυθαγόρειο: σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα \(\alpha\) ισχύει \(\alpha^2=\beta^2+\gamma^2\). Ισχύει και το αντίστροφο.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο \(AB\Gamma\) με \(\hat A=90^\circ\) και ύψος \(A\Delta\): \(A\Delta^2=B\Delta\cdot\Delta\Gamma\) και \(AB^2=B\Gamma\cdot B\Delta\).
Θεώρημα διχοτόμου: αν η \(A\Delta\) είναι διχοτόμος της \(\hat A\), τότε \(\dfrac{B\Delta}{\Delta\Gamma}=\dfrac{AB}{A\Gamma}\).

Σε ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι 6 και 8. Να βρεθεί το ύψος προς την υποτείνουσα.

Λύση. Η υποτείνουσα είναι \(\sqrt{36+64}=10\). Το εμβαδόν γράφεται \(\tfrac12\cdot6\cdot8=\tfrac12\cdot10\cdot h\), άρα \(h=4{,}8\).

Λάθος αντιστοιχία κορυφών στα όμοια τρίγωνα. Γράψε πρώτα ποια γωνία αντιστοιχεί σε ποια και μετά τους λόγους.