Τριγωνομετρία στο τρίγωνο: θεωρία για μαθηματικούς διαγωνισμούς

Για το Λύκειο. Όταν οι γωνίες είναι «άβολες», οι νόμοι ημιτόνων και συνημιτόνων μετατρέπουν τη γεωμετρία σε άλγεβρα.

τα βασικά

\(\eta\mu^2x+\sigma\upsilon\nu^2x=1\).
Νόμος ημιτόνων: \(\dfrac{\alpha}{\eta\mu A}=\dfrac{\beta}{\eta\mu B}=\dfrac{\gamma}{\eta\mu\Gamma}=2R\).
Νόμος συνημιτόνων: \(\alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\,\sigma\upsilon\nu A\).
\(\eta\mu(x+y)=\eta\mu x\,\sigma\upsilon\nu y+\sigma\upsilon\nu x\,\eta\mu y\) και \(\sigma\upsilon\nu(x+y)=\sigma\upsilon\nu x\,\sigma\upsilon\nu y-\eta\mu x\,\eta\mu y\).

Σε τρίγωνο είναι \(\beta=5\), \(\gamma=8\) και \(\hat A=60^\circ\). Να βρεθεί η \(\alpha\).

Λύση. \(\alpha^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\tfrac12=49\), άρα \(\alpha=7\).

Από \(\eta\mu x=\eta\mu y\) σε τρίγωνο δεν προκύπτει πάντα \(x=y\): μπορεί και \(x+y=180^\circ\).